Flujos de plasma hidrodinámicos y magnetohidrodinámicos. Parte III

Hydrodynamic and magnetohydrodynamic plasma flows. Part III

Presentación: 19/10/2021

Aprobación: 02/02/2022

Néstor Rotstein

Estudio de energías por fusión de plasmas magnetizados, Facultad Regional Buenos Aires, Universidad Tecnológica Nacional – Argentina

nrotstein@frba.utn.edu.ar

Ignacio Bustelo Cancela

Estudio de energías por fusión de plasmas magnetizados, Facultad Regional Buenos Aires, Universidad Tecnológica Nacional - Medrano 951 (CP1179) - Buenos Aires - Argentina

ignaciobustelo@gmail.com

Resumen

En este artículo hallamos la expresión general de la topología que el campo magnético adopta para poder limitar las corrientes que se generan a lo largo de sus líneas en plasmas con resistividad no nula. A los efectos de comparar con modelos de plasmas ideales asumimos componente azimutal de la fuerza de Lorentz nula. Mostramos que la intensidad del campo magnético no depende del coeficiente de difusión, como sí lo hacen el campo eléctrico inducido y el flujo másico asociado. El desacople de las isosuperficies de flujo de masa y las superficies de flujo magnético constante hace que el problema matemático no sea ya de variables separables, pero mostramos las condiciones que deben cumplir la densidad de masa (que deja de ser esféricamente simétrica) y el campo de velocidades.

Palabras clave: plasmas – magnetohidrodinámico – topología – resistividad

Abstract

In this article we find the general expression of the topology that the magnetic field adopts in order to limit the currents that are generated along its lines in plasmas with non-zero resistivity. In order to compare with ideal plasma models we assume null Lorentz force azimuthal component. We show that the magnetic field strength does not depend on the magnetic diffusivity coefficient, as do the induced electric field and the associated mass flux. The decoupling of mass flux isosurfaces and constant magnetic flux surfaces means that the mathematical problem is no longer one of separable variables, but we show the conditions that the mass density (which is no longer spherically symmetric) and the velocity field must satisfy.

Keywords: plasmas - magnetohydrodynamic - topology - resistivity

1. Introducción

Una de las características distintivas de la interacción entre un plasma idealmente conductor en movimiento y un campo magnético externo, es que las líneas del campo magnético, arrastradas por el fluido, conservan indefinidamente su identidad, sin importar qué tan retorcidas puedan llegar a estar siguiendo el movimiento del fluido. En estas condiciones se dice que el fluido arrastra a la líneas, o que éstas se hallan “congeladas” al plasma y lo contienen. Bajo la hipótesis de conductividad ideal, entonces, el escenario es el de un fluido magnetizado que evoluciona embebido en un campo magnético, pero sin cambios en la topología del campo magnético.

El congelamiento de las líneas de campo magnético al campo de velocidades constituye la base del confinamiento magnético. En términos poco rigurosos, hablamos de confinamiento magnético cuando se limita la evolución espacial de un plasma mediante la interacción con un campo magnético externo. Si las líneas de campo están cerradas, el plasma habrá de evolucionar idealmente siguiendo la misma trayectoria cerrada. Al cabo es esa la idea primigenia de un generador de energía por fusión. Habitualmente se trata de dispositivos con simetría axial (axisimetría) como por ejemplo tokamak, stellarator, spheromak, o RFP (que son las siglas de reversed field pinch). En estos dispositivos el objetivo está puesto en lograr que las partículas de plasma colisionen por tiempos comparativamente grandes en volúmenes comparativamente reducidos, y esto sin interactuar con las paredes del recinto que contiene al campo (y al plasma confinado).

Sin embargo, la condición de congelamiento es muy fuerte y no siempre es posible asumirla, fundamentalmente porque podrían existir configuraciones de mínima energía que no se alcanzarían en la hipótesis de conductividad infinita. De hecho, un equilibrio dinámicamente estable desde el punto de vista de la MHD ideal puede llegar a ser inestable si en el tratamiento se incluyen los efectos de la resistividad.

Lo que ocurre es que las fluctuaciones propias de las variables dinámicas pueden generar diversas inestabilidades, algunas de ellas capaces de romper el confinamiento. Ahora bien, el confinamiento magnético no es exclusivo de las máquinas de fusión, y de hecho los plasmas confinados magnéticamente son habituales a escala astrofísica. La diferencia esencial es que mientras que en los objetos astrofísicos los eventos disruptivos originados por efecto de inestabilidades resistivas constituyen una característica (en todo caso capaz de explicar diversos procesos de calentamiento, por ejemplo) en los generadores por fusión son, por definición, inadmisibles.

En las máquinas de fusión el confinamiento se logra en cámaras de geometría toroidal mediante superficies magnéticas cerradas. El campo magnético toroidal es generado por medio de bobinas externas, y un solenoide ubicado en el eje del toroide genera una variación temporal en el flujo magnético poloidal, induciendo de este modo una fuerza electromotriz toroidal que produce la corriente del plasma. Esta corriente, que genera la componente poloidal del campo magnético de confinamiento, contribuye a la formación de superficies anidadas, en las que idealmente, en estado de equilibrio MHD, el gradiente de presión compensa a la fuerza de Lorentz.

Sin embargo, la resistividad no nula del plasma (que es equivalente a decir difusividad no nula) provoca necesariamente la reconfiguración del campo magnético de equilibrio. Y en plasmas confinados magnéticamente esta reconfiguración puede ser crucial. La difusividad provoca que las líneas de corriente que idealmente serían paralelas al campo magnético tiendan a deformarse, juntándose en algunas regiones y separándose en otras, lo que provoca la aparición de líneas de campo cerradas que antes no existían. Este “desgarramiento” de la topología original da origen a un tipo de inestabilidad disruptiva que se conoce precisamente como tearing mode.

Estos modos constituyen una importante fuente de inestabilidad de la topología, que lleva a un proceso de relajación que puede resultar directamente en el transporte de calor y partículas y, en general, a procesos disruptivos del confinamiento en los que las superficies de flujo se rompen en “islas magnéticas” y enfrían al plasma.

A escala astrofísica también ocurren fenómenos disruptivos, básicamente en regiones las que existen gradientes de corriente muy intensos (como pueden ser los filamentos magnéticos o en las hojas de corriente en la corona solar) regiones en las que, sea por alguna inestabilidad o por el movimiento propio del plasma, las líneas de campo magnético de regiones topológicamente diferentes se ponen en contacto y reconectan de un modo diferente, las estructuras magnéticas cerradas ya no son posibles, los arcos se abren y liberan la energía contenida, convirtiendo energía magnética en energía cinética y térmica del plasma.

Pero en tanto que en el Sol el plasma se libera y simplemente abandona la atmósfera, en un tokamak se enfría y la fusión se interrumpe, de ahí la necesidad de controlar que el plasma no escape del confinamiento y que la energía no se pierda.

La primera consecuencia que se desprende de estas observaciones es que la topología del campo magnético debe adaptarse a la existencia de resistividad porque en la hipótesis de resistividad no nula el flujo magnético a través de una superficie fluida no puede permanecer constante, que es lo mismo que decir que la componente de velocidad del fluido perpendicular a las líneas de campo no puede ser la misma que la de las líneas. Desde el punto de vista de la ley de Faraday este comportamiento es de esperar, porque si un conjunto de cargas libres (típicamente un plasma) atraviesa líneas de campo magnético habrá de inducir un campo eléctrico a lo largo de las mismas líneas, de modo tal que se generarán corrientes eléctricas que sólo van a verse limitadas por la resistividad del fluido.

De esta forma, parece tener sentido preguntarse cuál es la topología de equilibrio estacionario de un plasma resistivo embebido en un campo magnético, porque en un plasma que no sea idealmente conductor las líneas de campo magnético no tienen por qué coincidir en todo punto con las líneas del campo de velocidades (el campo magnético difunde a través de las líneas de flujo).

En cierta medida porque en las partes I y II de este trabajo hemos tratado problemas de flujos de plasma en geometría esférica, en parte porque el tratamiento no sólo es un poco más sencillo que en geometría toroidal sino que además disponemos de evidencia observacional, en este artículo habremos de continuar en la hipótesis de una configuración axisimétrica en geometría esférica con fuerzas gravitatorias (más emparentada a objetos estelares), dejando para el próximo artículo el tratamiento axisimétrico en geometría cilíndrico anular (más emparentada a jets o a tokamaks) porque el objetivo está enfocado a estudiar los efectos de la resistividad del plasma. Por lo pronto, habremos de demostrar que la topología estacionaria del campo magnético está directamente relacionada con la existencia de las corrientes paralelas a las líneas de campo pero que, a diferencia del campo eléctrico inducido, no depende del valor de la resistividad o del coeficiente de difusión.

Otra de las ventajas de tratar el problema en escalas astrofísicas es que a esa escala no es esperable un campo magnético que difunda en tiempos observables. Si bien los tiempos de difusión dependen de las características dinámicas y estructurales de cada sistema (por ejemplo, el tiempo de difusión del campo magnético interior terrestre es del orden de 10⁵ años, en tanto que el tiempo de difusión del campo magnético solar es del orden de 10¹⁰ años. Respecto a las escalas de tiempo y espacio involucradas véase, por ejemplo, Biskamp, 1996, o Tenerani et al, 2016) elegimos la escala astrofísica porque nuestro interés no está puesto en la difusión en sí misma sino en el modo en que el campo debe ajustarse a la condición impuesta de corrientes eléctricas paralelas a sus líneas. Lo que procuramos en este artículo es hallar esa configuración de equilibrio, y comparar nuestros resultados con los campos magnéticos que se fijan idealmente a priori a partir de un criterio de plausibilidad, hipótesis que en el caso resistivo carecerían de sentido.

Para ello, en el capítulo 2 plantearemos las ecuaciones generales del problema, que resolveremos en el apartado 3. En la sección 4 mostraremos que el campo de velocidades necesariamente queda desacoplado del campo magnético, es decir, las isosuperficies de flujo másico ya no coinciden con las isosuperficies de flujo magnético. Y que a diferencia del campo magnético, el flujo de masa depende del valor de la resistividad. Las conclusiones y consecuencias de este fenómeno las discutimos en la sección 5.

2. Tratamiento general

Las ecuaciones magnetohidrodinámicas que gobiernan la evolución estacionaria de un plasma no ideal, interactuando con campos magnéticos externos, en presencia de un campo gravitatorio, se escriben como

(1)

(2)

(3)

(4)

donde, como es habitual, ρ representa la densidad volumétrica de masa, el campo de velocidades, el campo de inducción magnética, g la aceleración gravitatoria, la presión del fluido (μ es el peso molecular medio, k_B la constante de Boltzmann) y σ la conductividad eléctrica.

Notemos que independientemente del valor de la conductividad, la ecuación (1) de divergencia nula del campo magnético, y la ecuación de continuidad (2) pueden escribirse como

(5)

(6)

donde hemos introducido las funciones (escalares) A(r,θ) y ψ(r,θ), función de flujo magnético y función de flujo másico, respectivamente. Estas funciones gobiernan la topología de las superficies de flujo constante, magnético y másico en cada caso. Las superficies en las que A= constante y ψ= constante contienen las proyecciones de las líneas de campo magnético y de flujo sobre el plano meridional. Más aún, las isosuperficies magnéticas son superficies electrostáticas equipotenciales. Para un plasma idealmente conductor (σ→∞) la ecuación (3) afirma que, además, el campo de velocidades evoluciona también paralelo al campo magnético, esto es, si la función potencial electrostático es constante el campo poloidal de velocidades debe coincidir en cada punto con el campo magnético poloidal (Chandrasekhar, 1956; Tsinganos,1982), esto es

(7)

donde ε es una función escalar que depende de la posición en el plano poloidal. La conductividad finita impide la coincidencia de las isosuperficies de flujo, y en tal caso ya no puede invocarse que el momento angular total sea constante sobre una línea meridional, esto es, la condición

(8)

donde l es una constante sobre una línea de campo, ya no es válida, de manera tal que ya no podremos escribir las componentes toroidales del campo en términos de las funciones A(r,θ) y ψ(r,θ). En términos prácticos, en nuestra formulación hemos perdido dos ecuaciones, de manera tal que en lugar de estipular una relación particular entre las dos funciones de flujo deberemos estipular (siempre en base a un criterio de plausibilidad) al menos una de las dos componentes toroidales del campo, ya sea el magnético o el de velocidades. Por otro lado, las componentes meridionales del campo magnético pueden obtenerse a partir de la expresión (5) en la forma

(9)

(10)

que definen formalmente las componentes poloidales del campo magnético una vez establecida la función de flujo magnético. La estructura angular de las ecuaciones (9) y (10) adelantan que esta función debe poseer cierta simetría poloidal en el sentido de que cada hemisferio sea similar al otro, de manera tal que debe ser proporcional a alguna potencia sen²ⁿ θ del ángulo polar. La forma más general posible será entonces

(11)

A pesar de ser completa en cuanto al desarrollo angular la expresión (11) presupone un desarrollo muy extenso. Como nuestra prioridad es ilustrar los efectos que la resistividad tiene sobre la topología del campo magnético, trataremos sólo el primer término de la jerarquía, es decir, propondremos la forma

(12)

porque además de contener la esencia del problema mantiene el tratamiento matemático en un nivel razonable. Dejaremos para el final la discusión sobre términos superiores. Obsérvese un detalle de importancia, en las partes I y II de este trabajo impusimos la forma de la función ω₂ (r), en este caso es una incógnita del problema a resolver.

Las componentes de la densidad de corriente

(13)

se escriben en consecuencia como

(14)

(15)

(16)

Como hemos hecho en los trabajos anteriores, introduciremos una distancia adimensional en términos del radio del objeto, esto es, x=r ⁄ R_* , de manera tal que las derivadas respecto de la coordenada radial las redefiniremos como

(17)

Definamos ahora la cantidad

(18)

y con el objetivo de no sobrecargar la notación convengamos en primar las derivadas respecto a la distancia adimensional x. De esta manera podemos escribir las ecuaciones (14)-(16) en la forma

(19)

(20)

(21)

donde hemos definido para trabajar con variables de similar orden de magnitud. Regresemos ahora a la ecuación (3), y escribámosla en términos de la función escalar potencial electrostático Υ(x,θ) en la forma

(22)

o, equivalentemente

(23)

A partir de la expresión (23) parece evidente que en el caso de un plasma idealmente conductor (σ→∞) el potencial eléctrico debe ser fijado como una constante a través de cada superficie de flujo magnético. En el caso que estamos trabajando, en cambio, debemos postular las formas de las funciones β(x,θ) y Y(x,θ), esto es, en base a algún criterio debemos estipular la manera en que evolucionan espacialmente la componente toroidal del campo magnético y el campo eléctrico. Un breve análisis de la geometría con la que estamos trabajando sugiere tomar

(24)

para mantener el problema en variables separadas. A su vez, y por razones similares, parece razonable definir

(25)

Los parámetros t y p definen el número de ecuaciones independientes que es posible obtener del problema si tomamos una función potencial magnético como la de la expresión (12), aunque en principio bastará con tomar sólo una de ellas como función trigonométrica de alto orden. Dado que el papel de la función β(x; θ) no se limita a definir la componente toroidal del campo magnético Bφ (entre las ecuaciones (18) y (25)) sino que también denota la forma del campo de velocidad rotacional (a través de la componente azimutal de la ecuación (4)) y la forma de las líneas de corriente poloidales (a través de las ecuaciones (19) y (20)), parece razonable fijar la función de potencial eléctrico y dejar las potencias variables para la función β(x; θ). En consecuencia, a partir de ahora, adoptaremos z = 1.

Teniendo en cuenta estas observaciones, la ecuación (23), después de un poco de álgebra, se convierte en

(26)

donde hemos introducido el coeficiente de difusividad magnético η=1 ⁄ μ₀σ.

3. La topología del campo magnético

La ecuación (25) nos permite una primera mirada del rol que juega la resistividad (o en la manera en que lo escribimos, la difusividad) en la topología del campo magnético. Por simple inspección, puede verse que la ecuación (25) queda correctamente dimensionada para p=4, o para p=2 y una relación definida entre dos variables cualesquiera.

Demostraremos a continuación que en el primer caso no existe solución física posible. En efecto, para p=4, la ecuación (26) se descompone Fourier como

(27)

que en virtud del tercer término puede escribirse como

(28)

(29)

(30)

Las ecuaciones (28) y (29) muestran que si alguna solución existe es con F=constante, y que en tal caso resulta

(31)

que, reemplazada en la expresión (30) conduce a la ecuación en W₂

(32)

que, como puede verse fácilmente por su propia estructura matemática, no tiene solución real (o la tiene, pero es la solución sin significado físico ). Luego, debemos explorar las soluciones con p=2.

En tal caso, la expresión (26) deriva en la forma

(33)

que de inmediato se desarrolla Fourier como

(34)

Es casi evidente que la única manera de satisfacer la ecuación (34) es que cada término entre paréntesis sea nulo por separado, de lo contrario los términos de la serie de Fourier resultante no podrían ser nulos. Entonces, la ecuación (34) se reduce a las dos expresiones siguientes

Asumiendo la expresión (36) puede escribirse en la forma sucinta

(37)

donde hemos definido

(38)

Derivando una vez la ecuación (37) y por medio de la expresión (35), tras un sencillo pero engorroso álgebra se puede establecer la relación completa entre β_r(x) y f(W₂) en la forma

(39)

de modo que la función W₂ (x) puede hallarse una vez que se determina la forma funcional de β_r(x) sobre la base de alguna hipótesis adicional. Para poder comparar con los modelos de plasmas idealmente conductores, supondremos que el flujo evoluciona sin componente toroidal de la fuerza de Lorentz.

En este punto posiblemente sea necesario decir que usualmente en los modelos de flujo poloidal se toma B_φ=0, lo que inmediatamente conduce a que las componentes poloidales de la corriente sean nulas y, en consecuencia, la componente azimutal de la fuerza de Lorentz sea idénticamente nula. No es nuestro caso, nosotros estamos adoptando una particular relación entre las componentes poloidales del campo magnético y de la corriente, precisamente la que hace que una componente de la fuerza de Lorentz sea nula. Y no podríamos suponer B_φ=0 porque en tal caso las corrientes poloidales serían nulas (véanse las expresiones (19) y (20)) que son precisamente las que modifican la topología del campo magnético debido a la resistividad no nula.

La condición de componente toroidal de la fuerza de Lorentz nula se escribe como

(40)

que puede escribirse de una manera más compacta en la forma

(41)

de donde puede verse de manera casi inmediata que la hipótesis de componente azimutal nula de la fuerza de Lorentz es equivalente a plantear que la función β(x,θ) es función de la función potencial flujo magnético A(x,θ), esto es, β(x,θ)=f[A(x,θ)] independientemente de la forma que adopte el potencial de flujo magnético. En nuestro caso, esta condición se reduce a la forma

(42)

De esta manera, la ecuación (39) se escribe como

(43)

o, lo que es equivalente

(44)

A partir de la definición (38) es inmediato que el lado derecho de la última ecuación debe anularse, por lo que la función f(W₂) debe ser una constante, digamos m, y, en este marco particular, la ecuación para W₂(x) resulta

(45)

cuya solución, como puede comprobarse por reemplazo directo, resulta en la forma

(46)

donde c₁ y c₂ son constantes en principio arbitrarias. Puede verse que la solución es válida para todo valor de m≠0, en cuyo caso la solución

(47)

es casi inmediata, con c₃ y c₄ constates también en principio arbitrarias.

La figura 1 muestra las líneas de campo para m = 0,5, m = 1 y m = 1,5. El panel d representa la superposición de un campo puramente radial y uno dipolar, que resulta para m=-1,c₁= 0,c₂=-1. La torsión de las líneas de campo es evidente, especialmente en el panel b, un efecto que sólo tiene que ver con la resistividad y que proviene del término exponencial de la ecuación (46). Nótese que, en términos generales el valor del parámetro m determina la latitud por debajo de la cual el material puede expandirse hacia regiones del disco ecuatorial, y eventualmente regresar a la superficie del objeto central. De hecho, cuanto menor sea m, mayor será esta latitud, a partir de la cual el plasma se aleja grandes distancias en forma expansiva.

Mencionemos de nuevo que la solución que presentamos se basa en la hipótesis de que la componente toroidal de la fuerza de Lorentz es nula. Lo que no podemos imponer es la condición B_φ=0 porque sería equivalente a formular un modelo ideal con resistividad nula. Pero debe quedar claro que, aunque no es para nada limitativa, no es más que una hipótesis de trabajo.

Por ejemplo, podríamos trabajar con una componente toroidal de campo magnético que sea decreciente con la distancia. Esta es también una hipótesis realista y plausible, de forma tal que podríamos escribir

(48)

donde κ es una constante positiva que hemos introducido para que eventualmente B_φ tenga un término decreciente lento. Los valores permitidos de q tienen que ver con el hecho de que, a diferencia de B_φ, β(x) no es necesariamente una función decreciente. Definiendo b=κ ⁄ β0 la ecuación (39) se transforma en

(49)

cuyas soluciones en términos de q y b son casi inmediatas para f(W₂) en las formas

(50)

(51)

donde λ es una constante arbitraria y c_q una función del parámetro q definida como

(52)

Es casi evidente que existe ahora un conjunto de soluciones que dependen del particular del parámetro q. A modo de ejemplo, para q=–1,b=1, resulta

(53)

donde c₅ y c₆ es otro par de constantes arbitrarias. En términos generales la integración numérica del conjunto de ecuaciones para W₂ (x) (a partir de la relación (38)), dependiendo de los valores de las constantes involucradas, resulta en topologías similares a las de la figura 1. Hay sin embargo dos diferencias destacables. La pimera es que las soluciones dependen ahora de cuatro constantes arbitrarias, y no tres, como en el caso de componente azimutal nula de la fuerza de Lorentz. Y la segunda, y más importante, es la forma funcional de la velocidad de rotación. En la sección siguiente lo justificaremos.