Desarrollo de Sistema Automatizado Aplicado a Arreglo Experimental con Láser de Estado Sólido Bombeado por Diodos con Modulación de Pérdidas para el Procesamiento de Señales Experimentales

Figura 2. Gráfica de una parte de la serie temporal de amplitud de la señal de la Figura 1.

Para el discernimiento del carácter de la señal experimental, se debe conocer qué tipos de señales de salida experimentales (señales periódicas, caóticas o aleatorias), se pueden encontrar durante el proceso de medición. A continuación, se hará una breve descripción de las mismas:

I) En las señales periódicas, se presentan patrones repetitivos durante lapsos de tiempo que se conocen como el periodo de la señal. Una característica interesante de este tipo de señal periódica, es su transformada de Fourier, que presentará picos bien definidos.

II) Respecto a las señales caóticas, adjetivos como salvaje, turbulento, y al azar vienen a la mente. A pesar de su complejidad, los movimientos caóticos pueden provenir de sistemas físicos muy simples. Según los modelos teóricos que describen el láser, la transformada de Fourier se verá con un espectro ancho, sin picos definidos. Otra característica de las señales caóticas es la extrema sensibilidad a las condiciones iniciales. Podemos ubicar las señales caóticas entre las totalmente predecibles, regulares, periódicas o cuasi periódicas y las totalmente irregulares, estocásticas, conocidas como ruido y que son completamente impredecibles. El caos es irregular en el tiempo, en cierto modo predecible y tiene una estructura en el espacio de fase.

Para descubrir el carácter de una señal caótica, se debe tener en cuenta la estructura definida en el espacio de fases. Un espacio de fases, es una forma de representar un sistema dinámico. Posee tantas dimensiones como variables necesarias para especificar el estado del sistema original. Con cierta estructura vectorial, representa el conjunto de estados posibles en los que se puede encontrar el sistema modelado a lo largo del tiempo. La órbita de un estado particular se representa por una trayectoria en el espacio. Dicha representación permite una descripción cualitativa de la evolución temporal del modelo bajo estudio. A partir de este espacio de fases, se pueden extraer innumerables propiedades del sistema, que permiten la modelización del sistema y la realización de predicciones. Estas estructuras características se denominan atractores. La determinación del carácter de una señal caótica, se efectúa el estudio de la reconstrucción a partir de series temporales de un atractor, es decir, el conjunto de puntos, en el espacio de fases, por el cual evoluciona el sistema a partir de un observable escalar, la serie temporal. El teorema de embedding (Mañé et al, 1981; Takens et al 1981), nos proporciona el marco teórico y nos garantiza que el atractor reconstruido de esta manera es topológicamente equivalente al del sistema físico real. A continuación, se hará mención de tres ecuaciones 1,2 y 3. Al corresponder a vectores en el espacio de fases, estas ecuaciones, no poseen unidades, son adimensionales.

Los vectores en el espacio de fase d- dimensional reconstruido tendrán la forma como la ecuación 1:

(1)

donde xi(t0), xi(t1),..., xi(tj) es la serie temporal, τ es lo que se conoce como tiempo retardo y d es la dimensión de embedding del atractor. Es decir, d es el número de elementos que debe tener el vector para poder desplegar el atractor en el espacio de fase en forma completa.

Si bien no existe un criterio unívoco, en este trabajo, se elegirá a τ arbitrariamente como el primer mínimo de la información mutua de la serie temporal o 1 si la función es monótona, esto se hace por simplicidad de cálculo. Para determinar la dimensión de embedding se implementa el método de los falsos vecinos.

Supongamos un vector en el espacio de fase reconstruido como la ecuación 2:

(2)

donde s(k) es un escalar observable y T es el tiempo sugerido por el criterio de la información mutua.

Si se examinan los vecinos más cercanos (nearest neighbors) en el espacio de fase del vector y(k) como la ecuación 3:

(3)

Si este vector es un vecino verdadero de y(k), provendrá de una vecindad de y(k) en un sentido dinámico. Será el más cercano anterior o posterior en la órbita. Dado que el atractor de un sistema físico real es compacto en el espacio de fase, cada punto en el espacio de fase tendrá numerosos vecinos en la medida que se tenga datos suficientes. Si, por otra parte, el vector yNN(k) es un vecino falso de y(k), llegará a su vecindad como consecuencia de la proyección desde una dimensión mayor, debido a que el atractor no está completamente desplegado en la dimensión d. Se puede aumentar la dimensión a d+1, y ver si el punto desaparece de la vecindad de y(k), lo cual, revelará que se trataba de un falso vecino. Analizando cada punto y(k) y preguntando qué dimensión elimina por completo los falsos vecinos, se remueven secuencialmente las intersecciones de órbitas de dimensiones más bajas, hasta quitar la última, en ese momento, se habrá identificado la dimensión más baja que permite desplegar el atractor, es decir, la dimensión de embedding. Habiendo descartado las señales periódicas con la transformada rápida de Fourier, la existencia de una dimensión de embedding finita es una indicio de caos, ya que una señal aleatoria tiende a llenar todo el espacio de fase y ,por lo tanto, al intentar emplear el método de falsos vecinos, se verá que los falsos vecinos nunca caen a cero.

Finalmente, una vez determinada la dimensión de embedding, se pueden determinar los exponentes de Lyapunov. En un sistema cuyo movimiento se vuelve caótico, dos puntos cercanos en el espacio de fase se apartan exponencialmente en el tiempo. Esta rápida separación de las órbitas en el tiempo, que se conoce como sensibilidad a las condiciones iniciales, es la manifestación precisa de las inestabilidades en el espacio de fase que conducen a los movimientos no periódicos que denominamos caos. Los exponentes de Lyapunov dan cuenta de la divergencia de las trayectorias en el espacio de fase. El número de estos exponentes es igual a la dimensión del espacio de fase: λ1, λ2 ,..., λd. El significado de los exponentes puede explicarse en forma intuitiva con argumentos geométricos. Si las trayectorias en el espacio de fase tienen la forma eλt siendo t un índice temporal, λ < 0 indica trayectorias convergentes, mientras que trayectorias inicialmente muy cercanas serán divergentes si λ > 0. De este criterio se establece que para que un sistema sea globalmente estable, todos los exponentes deben ser negativos. Si las orbitas en el espacio de fases o de embedding no divergen y el máximo exponente de Lyapunov es positivo, tenemos una clara indicación de caos. También se ve que la suma de todos los exponentes debe ser negativa para que el sistema sea disipativo.

En resumen, para que un sistema sea caótico debe cumplir con las siguientes condiciones: que haya una dimensión de embedding finita; que la sumatoria de los coeficientes de Lyapunov sea negativa; que al menos un coeficiente de Lyapunov sea positivo.

III)En cuanto a las señales aleatorias, cuándo una ocurrencia o situación es aleatoria, no se puede predecir. En un mundo determinista, es decir, regido por teorías deterministas, la aleatoriedad proviene de la falta de información. Sin embargo, cualquiera sea la razón para la aleatoriedad, siempre se puede realizar un estudio de probabilidades, ya que es una alternativa para abordar el problema y analizar una búsqueda de información en este tipo de ocurrencias. La aleatoriedad se puede estudiar mediante dos enfoques, mediante la aleatoriedad estadística y la aleatoriedad algorítmica.

Para descubrir el carácter de una señal aleatoria, se efectúa el estudio estadístico de la aleatoriedad mediante los tests del NIST y el estudio algorítmico de la aleatoriedad mediante los métodos de aproximación para el cálculo de la complejidad de Kolmogorov:

Los tests del NIST, son ampliamente conocidos (Rukin et al, 2010), consisten en 15 tests estadísticos que evalúan la aleatoriedad de secuencias binarias lo suficientemente largas. En este trabajo, las secuencias elegidas son las series temporales de amplitud, cuyos valores de amplitud se binarizan respecto a un valor umbral de referencia. Los valores, mayores o iguales, a dicho valor, se consideran como unos y los menores, como cero. Se utiliza como valor de referencia, la mediana de las amplitudes de la serie temporal bajo estudio. A continuación, se enumeran los 15 tests estadísticos: The Frequency (Monobit) Test; Frequency Test within a Block; The Runs Test; Tests for the Longest-Run-of-Ones in a Block; The Binary Matrix Rank; The Discrete Fourier Transform (Spectral) Test; The Non-overlapping Template Matching Test; The Overlapping Template Matching Test; Maurer's "Universal Statistical" Test; The Linear Complexity Test; The Serial Test; The Approximate Entropy Test; The Cumulatve Sums (Cusums) Test ; The Random Excursions Test ; The Random Excursions Test.

Los tests del NIST forman parte de una herramienta poderosa para la evaluación de la aleatoriedad de una secuencia de datos. Sin embargo, algunos tests poseen la desventaja que para realizar un cálculo confiable, requieren de millones de puntos. Y, esta limitación, para la implementación en tiempo real, en donde se adquieren bloques de datos de cierta cantidad de muestras, o en series temporales cortas, no resulta la mejor opción. Por otro lado, la aleatoriedad algorítmica resulta una buena alternativa para series temporales cortas. Sin embargo, al resultar la definición de la complejidad de Kolmogorov, resulta incomputable (Kaspar et. al, 1987), es decir, no existe un algoritmo que la pueda calcular. Es por ello, que se requieren de aproximaciones, como los algoritmos de Lempel-Ziv.

Si se poseen secuencias compuestas solo por ceros y unos, es decir, binarias, según Kolmogorov, la complejidad de una secuencia binaria se obtiene a partir del número de bits del programa más corto que puede generar dicha secuencia. Un algoritmo que pueda realizar dicha evaluación, como ya se ha mencionado, no es posible. Lempel y Ziv eligieron de todos los posibles programas una clase que permite dos tipos de operaciones: copiar e insertar, midiendo un número c(n), que es una medida apropiada de la complejidad de Kolmogorov, sin necesidad de calcular la longitud del programa generador de la secuencia cuyo tamaño de bits es n. El cálculo de este número c(n), se basa en algoritmos existentes que son conocidos (Kaspar et al, 1987). Respecto a las secuencias binarias, o series temporales de amplitud binarizadas,una complejidad de Kolmogorov cuyo valor es muy cercano a 0, es indicativa de una señal periódica; una complejidad de Kolmogorov de valor intermedio ( mayor que 0 y menos que 1), es indicativo de una señal caótica; una complejidad de Kolmogorov de valor cercano a 1 (entre 0,999 y 1,099), es indicativo de una señal aleatoria. Estos valores resultan de rangos obtenidos durante ensayos experimentales en el Laboratorio de Láseres Sólidos del DEILAP en CITEDEF.

ARREGLO EXPERIMENTAL

Para la obtención de señales experimentales se utilizó un láser con un cristal de vanadato de itrio dopado con iones de neodimio (Nd:YVO4 ) como medio activo. El material empleado presenta ventajas por producir una gran ganancia en la amplificación óptica y por su amplio espectro de fluorescencia con una fuerte banda de absorción en 808nm. El medio activo, es una lámina de 3mmx3mmx1mm con 1% de átomos de Neodimio con recubrimiento antirreflejo para 808nm y alta reflectividad para 1064nm en una cara y antirreflejo para 1064nm en la otra, es bombeado por un diodo de 2W de potencia máxima en 808nm. Se utilizó una configuración de la cavidad en V. Sobre posicionadores angulares, se montó un espejo esférico de fondo con un revestimiento HR del cristal y otro plano de reflectividad 83%. El fotodiodo, se ubicó detrás del espejo de salida.

El enfoque de la radiación de bombeo sobre el medio activo se logró con una lente de gradiente de índice (GRIN LENS) montada sobre una pieza metálica ajustada al armazón del diodo, de forma cilíndrica de radio 1,8mm y largo 3,27mm. Sobre una de las ramas de la cavidad se colocó un modulador electro óptico, que permite la variación de las pérdidas de la cavidad. Este, se encuentra conectado al amplificador y al generador de señales. Se utilizó un diodo láser JDS Uniphase modelo SDL-2400 junto con un disipador de calor; una fuente de alimentación Spectra Diode Labs modelo SDL-805 el cual provee al diodo corriente eléctrica estable a través de un circuito electrónico realimentado.

La emisión de salida del láser, por medio de un sensor de intensidad de luz como lo es el fotodetector (DET36A de Thorlabs) de nuestro experimento, transforma una señal eléctrica proporcional a la intensidad de luz detectada. Para que estas señales analógicas puedan analizarse por computadora, es necesaria su conversión analógica a digital. Por supuesto, que una vez que se logran las señales digitales, se tendrán grandes volúmenes de datos, del orden de magnitud superior al millón de muestras por segundo. Estas, deberán procesarse para su análisis. En la Figura 3, se muestra el arreglo experimental utilizado.